Замкнутые системы автоматического управления

Устойчивость линейных систем[]

Устойчивость — свойство САУ возвращаться в заданный или близкий к нему установившийся режим после какого-либо возмущения.

Возмущения

  • отрицательные или «ветровые»
  • положительные или «полезные»

Устойчивая САУ — система в которой переходные процессы являются затухающими.

Замкнутые системы автоматического управления — операторная форма записи линеаризированного уравнения.

y(t) = yуст(t)+yп = yвын(t)+yсв

yуст(yвын) частное решение линеаризированного уравнения

yп(yсв)общее решение линеаризированного уравнения, как однородного дифференциального уравнения, то есть Замкнутые системы автоматического управления

САУ устойчива, если переходные процессы уn(t), вызываемые любыми возмущениями, будут затухающими с течением времени, то есть
при

Решая дифференциальное уравнение в общем случае, получим комплексные корни pi, pi+1 = ±αi ± jβi

Каждой паре комплексно-сопряженных корней соответствует следующая составляющая уравнения переходного процесса:

Замкнутые системы автоматического управления
, где
,

Из полученных результатов видно, что:

  • при ∀αi<0 выполняется условие устойчивости, т.е. переходный процесс с течением времени стремиться к ууст (Теорема Ляпунова 1);
  • при ∃αi>0, выполняется условие неустойчивости (Теорема Ляпунова 2), то есть , что приводит расходящимся колебаниям;
  • при ∃αi=0 и ¬∃αi>0 , что приводит к незатухающим синусоидальным колебаниям системы(система на границе устойчивости) (Теорема Ляпунова 3)

Основные понятия[]

Автоматика — отрасль науки и техники, охватывающая теорию и практику автоматического управления, а также принципы построения автоматических систем и образующих их технических средств.

Управление — процесс, обеспечивающий необходимое по целевому назначению протекание процессов.

Цель — причина управления, задающая воздействие на её достижение. Воздействие на объект управления предназначено для достижения цели управления.

Объекты :

  • управляемые
  • неуправляемые

Система автоматического управления (САУ) включает в себя объект управления и устройство управления.

Устройство управления — совокупность устройств, с помощью которых осуществляется управление существующими технологическими параметрами.

Объект управления — агрегат, в котором происходит подлежащий управлению процесс.

Регулирование — частный случай управления.

Регулятор — вырабатывает управляющие воздействия на ОУ, поддерживает на заданном уровне или изменяет по определенному закону регулируемую величину.

Внешние воздействия g(t) — определяют требуемый закон регулирования выходной величины.

Возмущающие воздействия f(t) — нарушают требуемую функциональную связь.

Возмущения :

  • внешние
  • внутренние

Системы автоматического управления:

  • разомкнутые
  • замкнутые

Классификация САУ[]

По степени использования информации о состоянии объекта управления:

  • управление с ОС
  • управление без ОС.

По степени использования информации о параметрах и структуре объекта управления:

  • адаптивный
  • неадаптивный
  • поисковый
  • беспоисковый
  • с идентификацией
  • с переменной структурой.

По степени преобразования координат в САУ:

  • детерминированный
  • стохастический (со случайными воздействиями)

По виду мат. модели преобразования координат:

  • линейные
  • нелинейные (релейные, логич. и др.)

По виду управляющих воздействий:

  • аналоговые
  • дискретные (прерывные, импульсные, цифровые)

По степени участия человека:

Популярные статьи  Что такое провод шввп, его расшифровка и технические характеристики

  • ручные
  • автоматические
  • автоматизирование (человек в управлении).

По закону изменения выходной переменной:

  • стабилизирующая: предписанное значение выходной переменной является неизменным.
  • программная: выходная переменная изменяется по определенной, заранее заданной программе.
  • следящая: предписанное значение выходной переменной зависит от значения неизвестной заранее переменной на входе автоматической системы.

По количеству управляемых и регулируемых переменных

  • одномерные
  • многомерные

По степени самонастройки, адаптации, оптимизации и интеллектуальности:

  • экстремальные
  • самонастраивающиеся
  • интеллектуальные

По воздействию чувствительного (измерительного) элемента на регулирующий орган:

  • системы прямого управления
  • системы косвенного управления

Запас устойчивости САУ[]

Необходимость запаса устойчивости определяется следующими условиями:

  • Отбрасывание нелинейных слагаемых при линеаризации.
  • Коэффициенты, входящие в уравнение, описывающее САУ, определяются с погрешностью.
  • Устойчивость исследования для типовых систем при типовых условиях.

Критерий Рауса

Чтобы смоделировать запас устойчивости, необходимо, чтобы элементы первого столбца были больше какой-то фиксированной величины ε>0, называемой коэффициентом запаса устойчивости.

Критерий Гурвица

Запас устойчивости определяется аналогично запасу устойчивости Рауса, только ε характеризует значение определителя Гурвица.

Критерий Михайлова

Вписывается окружность ненулевого радиуса с центром в точке О(0;0). Запас определяется радиусом этой окружности. Система неустойчива при нарушении критерия Михайлова или при пересечении кривой Михайлова с окружностью.

Критерий Найквиста

Здесь критической является точка (-1; j0), следовательно, вокруг этой точки строится запретная зона, радиус которой будет представлять коэффициент запаса устойчивости.

Устойчивость линейных систем

Общее решение линейного неоднородного
уравнения состоит из общего решения соответствующего однородного решения и
некоторого частного решения данного неоднородного уравнения.

Замкнутые системы автоматического управления

Таким образом, если САУ устойчива, y переходного процесса (Yпер(t)) при будут
затухающими.

Находим характеристический паленом, его корни
и в зависимости от того, к какому виду они относятся
определяем условия, при которых САУ будет устойчивой. Корни могут быть:

1) действительными кратными;

2) действительными и различными;

3) комплексными;

4) комплексными кратными.

Общее решение y(t) будет представлять паленом,
умноженный на сумму экспонент с заданными коэффициентами.

В случае комплексных корней, когда ,
каждой паре комплексно сопряженных корней будет соответствовать следующее
составляющая переходного процесса:

Замкнутые системы автоматического управленияЕсли
хотя бы один корень >0, то система неустойчивая.

Система будет находиться на границе
устойчивости
при наличии либо нулевого характеристического корня, либо пары
число мнимых корней. (a=0)

4. Критерий устойчивости Михайлова (вывод
— случай вещественных корней).

Сравнительная характеристика критериев устойчивости[]

Частотный критерий Найквиста применим главным образом, когда трудно получить экспериментально фазовые характеристики. Однако вычисление АФХ особенно частотных, сложнее чем построение кривых Михайлова. Кроме того, расположение АФЧХ не дает прямого ответа на вопрос: устойчива ли система, то есть требуется дополнительное исследование на устойчивость системы в разомкнутом состоянии.

Критерий Михайлова применяется для систем любого порядка, в отличие от Рауса. Применяя частотный критерий Найквиста и критерий Михайлова, характеристические кривые можно строить постепенно, с учетом влияния каждого звена, что придает критериям наглядность и решает задачу выбора параметров системы из условия устойчивости.

Виды ЧПФ

1. Амплитудно-фазовая частотная
характеристика (АФЧХ)

строится в комплексной плоскости,
представляет собой геометрическое место точек концов векторов (годограф),
соответствующее ЧПФ в комплексной форме. Т.к. w может
быть (+) и (–), то строится только положительная
ветвь, а отрицательная – зеркально отображается.

Популярные статьи  Правила электробезопасности при обслуживании домашней электропроводки

Построение АФФЧХ по вещественным и мнимым частям
– трудоемкая работа, проще строить ее, используя полярные координаты при
непосредственном вычислении модуля и фазы.

2. Амплитудно-частотная характеристика
(АЧХ)

Показывает, как звено пропускает сигнал
различной частоты.

3. Фазовая частотная характеристика (ФЧХ)

Показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на
различных частотах.

Критерии устойчивости[]

Критерий Рауса

Основная статья: Критерий устойчивости Рауса

Для определения устойчивости системы, строятся таблицы вида:

Коэффициенты Строки столбец 1 столбец 2 столбец 3
1
2 Замкнутые системы автоматического управления
3
4

Для устойчивости системы необходимо, чтобы все элементы первого столбца имели положительные значения; если в первом столбце присутствуют отрицательные элементы — система неустойчива; если хотя бы один элемент равен нулю, а остальные положительные, то система на границе устойчивости.

Критерий Гурвица

Основная статья: Критерий устойчивости Гурвица

Замкнутые системы автоматического управления

Замкнутые системы автоматического управления — Определитель Гурвица

Теорема: Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его миноры были положительны при

Критерий Михайлова

Заменим

, где ω — угловая частота колебаний, соответствующих чисто мнимому корню данного характеристического полинома.

Замкнутые системы автоматического управления

Замкнутые системы автоматического управления

Замкнутые системы автоматического управления

Критерий: для устойчивой системы n-го порядка кривая Михайлова проходит последовательно через n квадрантов

Замкнутые системы автоматического управления

Замкнутые системы автоматического управления

Рассмотрим зависимость между кривой Михайлова и знаками его корней(α>0 и β>0)

1) Корень характеристического уравнения отрицательное вещественное число

Соответствующий данному корню сомножитель

2) Корень характеристического уравнения положительное вещественное число

Соответствующий данному корню сомножитель

3) Корень характеристического уравнения комплексная парачисел с отрицательной вещественной частью

Соответствующий данному корню сомножитель
Замкнутые системы автоматического управления

Замкнутые системы автоматического управления
, где

4) Корень характеристического уравнения комплексная парачисел с положительной вещественной частью

Соответствующий данному корню сомножитель
Замкнутые системы автоматического управления

Замкнутые системы автоматического управления
, где

Критерий Найквиста

Критерий Найквиста — это графоаналитический критерий. Характерной его особенностью является то, что вывод об устойчивости или неустойчивости замкнутой системы делается в зависимости от вида амплитудно-фазовой (а. ф. х.) или логарифмических частотных характеристик (л. ч. х.) разомкнутой системы.

Пусть разомкнутая система представленна в виде полинома
Замкнутые системы автоматического управления

тогда сделаем подстановку

и получим:
Замкнутые системы автоматического управления

Для более удобного построения годографа при n>2, приведем уравнение (*) приведем к «стандартному» виду:
Замкнутые системы автоматического управления

При таком представлении модуль A(ω) = | W(jω)| равен отношению модулей числителя и знаменателя, а аргумент (фаза) ψ(ω) — разности их аргументов. В свою очередь, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент — сумме аргументов.

Модули и аргументы, соответствующие сомножителям передаточной функции

Сомножитель
k k
p ω
Замкнутые системы автоматического управления

Замкнутые системы автоматического управления

После чего построим годограф для вспомогательной функции

, для чего будем изменять

При
Замкнутые системы автоматического управления
, а при

(т.к. n<m и

)

Для определения результирующего угла поворота найдем разность аргументов числителя

и знаменателя

Полином числителя вспомогательной функции имеет ту же степень, что и полином её знаменателя, откуда следует

, следовательно результирующий угол поворота вспомогательной функции равен 0. Это означает, что для устойчивости замкнутой системы годограф вектора вспомогательной функции не должен охватывать начало координат, а годограф функции

, соответственно, точку с координатами

Интеллектуальные САУ[]

ИСАУ — это системы, которые позволяют проводить обучение, адаптацию или настройку за счет запоминания и анализа информации о поведении объекта, его СУ и внешних воздействий. Особенностью данных систем является наличие базы данных машины логического вывода, подсистемы объяснений и др.

Популярные статьи  Освещение в ванной комнате: правила, требования, фото идеи

База знаний — формализованные правила в виде логических формул, таблиц и т. п. ИСУ используется для управления плохо формализованными или сложными техническими объектами.

Класс ИСУ соответствует признакам:

  • Наличие взаимодействий СУ с реальным внешним миром с использованием информационных каналов связи.
  • Открытость системы — нужен для пополнения и приобретения знаний.
  • Наличие механизмов прогноза изменений среды функционирования системы.
  • Наличие системы структуры построения, то есть неточность информации об ОУ может быть компенсирована за счет повышения интеллектуализации алгоритма управления.
  • Сокращение функционирования при разрыве связи.

Если ИСУ удовлетворяет всем 5-ти признакам, то она интеллектуальна в «большом», иначе в «маленьком» смысле.

Виды воздействий. Переходная, весовая, передаточная функция[]

  • Единичная ступенчатая функция — специальная математическая функция, чьё значение равно нулю для отрицательных аргументов и единице для положительных аргументов
  • Единичная импульсная функция — производная от единичной ступенчатой функции. Характеризует собой импульс бесконечно-большой амплитуды, протекающий за бесконечно-малый промежуток времени. Геометрический смысл — площадь, ограниченная данной функцией равна 1.
  • Переходная функция — это реакция системы на единичный ступенчатый сигнал.
  • Весовая функция — это реакция системы на единичный импульс.
  • Передаточная функция — отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного при нулевых начальных условиях и нулевых внешних возмущениях.

Вывод формул

Характер системы определяется
характеристическим полиномом:

p=jw, , где j – мнимая единица, w – угловая частота колебаний.

Произведем замену:

Замкнутые системы автоматического управления

Пример

Замкнутые системы автоматического управления

В X(w) содержатся
четные степени w, а в Y(w)
– нечетные.

Замкнутые системы автоматического управления

где каждая скобка – комплексное число, а при
умножении комплексных чисел аргументы складываются. Результирующий угол в
случае вещественных корней представляет собой .

Рассмотрим зависимость
между критерием Михайлова и знаками вещественных корней характеристического
уравнения при изменении w=[0,∞).

1. Предположим, что p1= – вещественное
отрицательное число
. p1=-a1, a1>0

Замкнутые системы автоматического управления

(jw-p1)=(jw+a1). Вектор OB при
займет положение π/2.

2. Предположим, что p1 – вещественное
положительное число
. p1=a1, a1>0.

(jw-p1)=(jw-a1). Вектор OB при
займет положение -π/2

3. Если характеристическое уравнение имеет k корней с положительной вещественной частью, то им
соответствует сумма углов поворота, равная –k*π/2. Остальные (n-k) корней, имеющих отрицательные вещественные части,
будут иметь результирующий угол поворота: (n-k)*π/2.
Общий угол поворота вектора характеристического уравнения равен

5. Частотная передаточная функция и
частотные характеристики (определения, формы записи, графики).

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Денис Серебряков/ автор статьи
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: